Teori dan Distribusi Probabilitas

RESUME BIOSTATISTIK INFERENSIAL PARAMETRIK

Tentang Teori dan Distribusi Probabilitas

Dosen Pengampu : Tri Lestari S.Kep M.Kes

Disusun Oleh :

Nama          : Ani Romaningsih

Nim            : 12127211 0009

Kelas                    : A (Reguler)

Semester     : III (Tiga)

YAYASAN HAJI SOEHELLY  QARY

SEKOLAH TINGGI ILMU KESEHATAN (STIKES) MERANGIN

PRODI S1 KESEHATAN MASYARAKAT

TAHUN AJARAN 2014/2015

TEORI PROBABILITAS

Konsep probabilitas (peluang) mulanya berkembang dari judi, namun demikian dalam perkembangannya mempunyai peranan penting dalam ilmu pengetahuan dan kehidupan sehari-hari. Probabilitas diartikan sebagai suatu nilai yang dipergunakan untuk mengukur tingkat peluang terjadinya kejadian yang random.

Terdapat dua teori tentang probabilitas yaitu :

1. Teori klasik

Teori klasik disusun dalam hubungan dengan permainan judi dan juga dikenal dengan nama teori perjudian.

Misalnya sebuah percobaan dapat menghasilkan n peristiwa dan syarat :

1)      Sejumlah peristiwa yang dapat terjadi harus diketahui secara apriori tanpa observasi terlebih dahulu.

2)      Tidaak mungkin dua pristiwa terjadi bersama-sama dan ini harus di ketahui secara apriori

3)      Tidak ada alas an untuk mengharap bahwa diantara peristiwa-peristiwa itu salah satu akan lebih mudah terjadi dari pada yang lain. Diantara semua peristiwa itu ada persamaan kemungkinan akan terjadi.

4)      Nilai probabilitas dari masing-masing peristiwa 1/n

Dalam definisi klasik, nilai probabilitas adalah hasil bagi kosien dari jumlah sukses dibagi jumlah peristiwa yang memiliki ekuiposibilitas. Kalau kita melempar dadu, maka percobaan itu memenuhi syarat (1) dan (2) diatas. Dan kalau cara melemparkannya sedemikian rupa sehingga memenuhi syarat ekuiposibilitas, maka masing-masing muka itu mempunyai nilai probabilitas 1/6 untuk menghadap keatas. Kalau dadu itu semua mukanya bermata satu, maka peristiwa lemparan dengan hasil mata  satu memiliki probabilitas 6/6 atau 1. Kalu mukanya tidak ada yang bermata satu , maka peristiwa itu akan mempunyai probabilitas 0/6 atau 0. Angka satu 0 itu adalah probabilitas maksimum dan minimum. Probabilitas yang ditetapkan secara demikian itu juga disebut matematik. Menurut teori klasik secara apriori dapat ditentukan bahwa nilai probabilitas untuk memperoleh sukses berupa gambar garuda dalam lemparan mata uang lima puluh rupiah.

2. Teori frekuensi

Teori ini memeandang probabilitas sebagai frekuensi relative yaitu banyaknya atau seringnya hasil sukses  dalam sejumlah percobaan jadi untuk menghitung frekuensi relative, kita harus mengadakan percobaan sejumlah kali dan hasilnya, misalnya sebagai berikut ( I = gambar rumah)

-- 11 - - - 11 – 111

Deretan diatas adalah sequence ofd events (deretan percobaan ) hasil dari 14 kali lemparan  diantara yang sukses 8. Berdasarkan 14 kali percobaan itu terdapat

0/1 0/2 1/3 2/4 2/5 2/6 2/7 3/8 4/9 4/10 5/11 6/12 7/13 8/14

Dari teori ini menurunkan sebuah prinsip atau aksioma yang disebut aksioma limit yang mengatakan bahwa semakin banyak diadakan percobaan dan semakin panjang deretan frekuensinya, maka angka frekuensinya itu adakan makin mendekati angka akhir. Kalau percobaaan itu diteruskan tak terbatas, angka akhir atau nilai limit inilah probabilitas sebenarnya.

Definisi probabilitas dapat dilihat dari tiga macam pendekatan, yaitu

1. Pendekatan klasik

Probabilitas/peluang merupakan banyaknya kemungkinan-kemungkinan pada suatu kejadian berdasarkan frekuensinya. Jika ada a kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A dan ada b kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A, serta masing-masing kejadian mempunyai kesempatan yang sama dan saling asing, maka probabilitas/peluang bahwa akan terjadi a adalah: P (A) = a/a+b ; dan peluang bahwa akan terjadi b adalah: P (A) = b/a+b

Contoh:

Pelamar pekerjaan terdiri dari 10 orang pria (A) dan 15 orang wanita (B). Jika yang diterima hanya 1, berapa peluang bahwa ia merupakan wanita?

Jawab: P (A) = 15/10+15 = 3/5

2. Pendekatan subjektif

Nilai probabilitas/peluang adalah tepat/cocok apabila hanya ada satu kemungkinan kejadian terjadi dalam suatu kejadian ditentukan berdasarkan tingkat kepercayaan yang bersifat individual (misalnya berdasarkan pengalaman)

3. Pendekatan frekuensi relatif

Nilai probabilitas/peluang ditentukan atas dasar proporsi dari kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu observasi/percobaan (pengumpulan data). Jika pada data sebanyak N terdapat a kejadian yang bersifat A, maka probabilitas/peluang akan terjadi A untuk N data adalah: P (A) = a/N

Contoh:

Dari hasil penelitian diketahui bahwa 5 orang karyawan akan terserang flu pada musim dingin. Apabila lokakarya diadakan di Puncak, berapa probabilitas terjadi 1 orang sakit flu dari 400 orang karyawan yang ikut serta?

Jawab: P (A) = 5/400 = P (A) = 1/80

Probabilitas disajikan dengan symbol P, sehingga P(A) menyatakan probabilitas bahwa kejadian A akan terjadi dalam observasi atau percobaan tunggal, dengan 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Dalam suatu observasi/percobaan kemungkinan kejadian ada 2, yaitu “terjadi (P(A)) atau “tidak terjadi” (P(A)’), maka jumlah probabilitas totalnya adalah

P(A) + P(A)’ =1

Distribusi Probabilitas

• Probabilitas dalam statistik adalah memperkirakan terjadinya peluang atua probabilitas yang dihubungkan dengan terjadinya peristiwa tersebut dalam beberapa keadaan.
• Jika kita mengetahui keseluruhan probabilitas dari kemungkinan outcome yang terjadi, seluruh probabilitas kejadian tersebut akan membentuk suatu distribusi probabilitas.

Macam Distribusi Probabilitas

1. Distribusi Binomial (Bernaulli)

·         Penemu Distribusi Binomial adalah James Bernaulli sehingga dikenal sebagai Distribusi Bernaulli.

·         Menggambarkan fenomena dengan dua hasil atau outcome. Contoh: peluang sukses dan gagal, sehat dan sakit, dan sebagainya.

Syarat Distribusi Binomial

·         Jumlah trial merupakan bilangan bulat. Contoh melambungkan coin 2 kali, tidak mungkin 2 ½ kali.

·         Setiap eksperiman mempunyai dua outcome (hasil). Contoh: sukses atau gagal, laki atau perempuan, sehat atau sakit, setuju atau tidak setuju.

·         Peluang sukses sama setiap eksperimen. Contoh: Jika pada lambungan pertama peluang keluar mata H/sukses adalah ½, pada lambungan seterusnya juga ½. Jika sebuah dadu, yang diharapkan adalah keluar mata lima, maka dikatakan peluang sukses adalah 1/6, sedangkan peluang gagal adalah 5/6. Untuk itu peluang sukses dilambangkan p, sedangkan peluang gagal adalah (1-p) atau biasa juga dilambangkan q, di mana q = 1-p.

Simbol peristiwa Binomial

b (x,n,p)

b = binomial

x = banyaknya sukses yang diinginkan (bilangan random)

n = Jumlah trial

p = peluang sukses dalam satu kali trial.

Dadu dilemparkan 5 kali, diharapkan keluar mata 6 dua kali, maka kejadian ini dapat ditulis b(2,5,1/6)  dengan x=2, n=5, p=1/6

Contoh soal

·         Probabilitas seorang bayi tidak di imunisasi polio adalah 0,2 (p). Pada suatu hari di Puskesmas “X” ada 4 orang bayi. Hitunglah peluang dari bayi tersebut 2 orang belum imunisasi polio. Jadi, di dalam kejadian binomial ini dikatakan b (x=2, n=4, p=0,2) → b (2, 4, 0,2)

Penyelesaian soal

Katakanlah bayi tersebut A,B,C,D. Dua orang tidak diimunisasi mungkin adalah A&B, A&C, A&D, B&C, B&D, C&D.

P(x) (1-p         =  (1-0,2         =  0, 154

Rumus untuk b (x,n,p) adalah:

Disamping memakai rumus binomial, permasalahan ini juga dapat dikerjakan dengan memakai tabel binomial, caranya adalah dengan menentukan n.misalnya dari contoh soal adalah 4, dilihat pada kolom pertama kolom kedua adalah kemungkinan x, dalam permasalahan ini adalah x=2. p dilihat pada baris paling atas dalam hal ini p=0,2, ditarik garis dari p= 0,2 sampai ke n = 4dan x = 2, ditabel didapatkan 0,973. Ini adalah peluang kumulatif dari p (x=0) + p (x=1) + p (x=2). Jadi kalau mau mendapatkan p(x=2) saja, maka 0,973-0,819 = 0,154

2. Distribusi Poisson

·         Dalam mempelajari distribusi Binomial kita dihadapkan pada probabilitas variabel random diskrit (bilangan bulat) yang jumlah trial nya kecil (daftar binomial), sedangkan jika dihadapkan pada suatu kejadian dengan p <<< dan menyangkut kejadian yang luas n >>> maka digunakan distribusi Poisson.

·         Distribusi Poisson → dipakai untuk menentukan peluang suatu kejadian yang jarang terjadi, tetapi mengenai populasi yang luas atau area yang luas dan juga berhubungan dengan waktu.

·         Contoh Distribusi Poisson

Disuatu gerbang tol yang dilewati ribuan mobil dalam suatu hari akan terjadi kecelakaan dari sekian banyak mobil yang lewat. Dikatakan bahwa kejadian seseorang akan meninggal karena shock pada waktu disuntik dengan vaksin meningitis 0,0005. Padahal, vaksinasi tersebut selalu diberikan kalau seseorang ingin pergi haji.

P(x)

Rumus Distribusi Poisson

µ = λ= n.p = E(x) → Nilai rata-rata

e = konstanta = 2,71828

x = variabel random diskrtit (1,2,3, ….,x)

·         Contoh:

Diketahui probabilitas untuk terjadi shock pada saat imunisasi dengan vaksinasi meningitis adalah 0,0005. Kalau di suatu kota jumlah orang yang dilakukan vaksinasi sebanyak 4000. Hitunglah peluang tepat tiga orang akan terjadi shock!

Penyelesaian: µ = λ= n.p = 4000 x 0,0005 = 2

p(x=3) = (2³ x 2,71828^-2) / 3 x 2x 1= 0,1804

Penyelesaian dengan tabel Distribusi Poisson

Baris = µ = λ

Kolom = x

P (x=3) = 0,857 - 0,677 = 0,180

3. Distribusi Normal (Gauss)

·         Pada kasus di mana n cukup besar dan p tidak terlalu kecil (tidak mendekati 0,….,1 dilakukan pendekatan memakai distribusi Normal (Gauss)

·         Ditemukan pertama kali oleh matematikawan asal Prancis, Abraham D (1733), diaplikasikan lebih baik lagi oleh astronom asal

·         Distribusi Normal = Distribusi Jerman,Friedrich Gauss Gauss

·         Rumus Eksposensial untuk Distribusi Normal

 

- ≈ < x > ≈          σ2 = 0

- ≈ < µ > ≈         π = 3,14      e = 2,71828

Agar lebih praktis, telah ada tabel kurva normal di mana tabel ini menunjukkan luas kurva normal dari suatu nilai yang dibatasi nilai tertentu.

Ciri Khas Distribusi Normal

·         Simetris, Seperti lonceng, Titik belok µ ± σ

·         Luas di bawah kurva = probability = 1

·         Kurva distribusi normal mempunyai satu puncak (uni-modal)

·         Kurva berbentuk simetris dan menyerupai lonceng hingga mean, median dan modus terletak pada satu titik.

·         Kurva normal dibentuk dengan N yang tak terhingga.

·         Peristiwa yang dimiliki tetap independen.

·         Ekor kurva mendekati absis pada penyimpangan 3 SD ke kanan dan ke kiri dari rata-rata dan ekor grafik dapat dikembangkan sampai tak terhingga tanpa menyentuh sumbu absis.

Kurva Normal Umum

Untuk dapat menentukan probabilitas di dalam kurva normal umum (untuk suatu sampel yang cukup besar, terutama untuk gejala alam seperti berat badan dan tinggi badan), nilai yang akan dicari ditransformasikan dulu ke nilai kurva normal standar melalui transformasi Z (deviasi relatif).

Rumus: Z = (x - µ) / σ     Z = (X – X) / S  

Kurva normal standar  → N (µ = 0, σ = 1)

Kurva normal umum →  N (µ, σ)